Johdanto – Kuorimallien monipuolisuus
Kuorimallit ovat luultavasti eniten käytettyjä elementtimenetelmään (FE, Finite Element) perustuvia laskentamalleja rakennus- ja myös mekaniikkasuunnitelussa. Kuorielementtejä voi ajatella yksikerroksisina tilavuuselementteinä. Paksuussuunnassa ne käyttäytyvät palkkien tavoin, ja niillä on samat edut ja rajoitukset kuin palkeilla. Kuorimallit eivät anna oikeaa ratkaisua tukien, levyjen liittymien tai keskitettyjen kuormien, kuten piste- ja viivakuormien, lähellä. Sama heikkous koskee palkkimalleja. Kuorielementtien taivutus- ja leikkausvasteeseen liittyy kuitenkin myös yksi lisäheikkous: numeerinen singulariteetti. LINKKI
FEM-Designin kuorimallit poikkeavat kuitenkin hieman tavanomaisista malleista ja poistavat osittain tämän muissa ohjelmistoissa yleisen rajoituksen. Kuorimallien suuri etu on, että ne kuvaavat taivutusta aina tarkemmin kuin tilavuuselementtimallit. Kun levyä ei jaeta elementteihin paksuussuunnassa, elementtijako ei vaikuta taivutusvasteeseen. Kun levymäinen rakenne mallinnetaan tilavuuselementeillä, paksuussuunnassa on yleensä vain kaksi solmua, ja korkeamman kertaluvunkin elementit ovat jossain määrin epätarkkoja. Ensimmäisen kertaluvun tilavuuselementit eivät pysty kuvaamaan levyn taivutusta oikein. Kuorimallit sopivatkin erinomaisesti levymäisiin rakenteisiin, kuten betoniseiniin, laattoihin, lasikuitukomposiitteihin, puulevyihin, hitsattuihin teräslevyrakenteisiin ja vastaaviin järjestelmiin. Jos olet käyttänyt vain tilavuuselementtejä, et tiedä, mistä jäät paitsi: kuoret ovat erinomaisia rakenteiden toiminnan kuvaamiseen. Voit muokata suoraan tason suuntaista leikkausjäykkyyttä, vääntöjäykkyyttä sekä puristuksen ja taivutuksen x- ja y-suuntien välisiä kytkentöjä. Käytännön rakenteiden mallintamisessa tarvittavat muutokset ovat tilavuuselementeillä lähes mahdottomia toteuttaa.
Kuorten merkittävä etu on, että ne ovat palkkien tavoin poikkileikkausmalleja. Saat suoraan rakenteen poikkileikkauksen yli vaikuttavat voimasuureet, joten tulosten poimiminen on helppoa. Kehittyneiden poikkileikkauksen kestävyyden mitoituskaavojen käyttäminen on paljon helpompaa kuin tilavuuselementeillä, joilla taivutusmomentin, leikkausvoiman tai muun mitoitussuureen määrittäminen edellyttää integrointia paksuussuunnassa.
Kuorielementit kuvaavat taivutusta palkkielementtien tavoin, mutta tähän liittyy tärkeä varaus. Yleinen harhakäsitys on, että kuori vastaisi kahta toisiaan vastaan kohtisuoraa palkkiverkkoa. Tämä ei ole oikea tapa hahmottaa kuoren toimintaa, ja se on aiheuttanut paljon sekaannusta. Tässä artikkelissa esitellään oikea tapa ajatella kuoria. Kun ymmärrät niiden toiminnan, voit määrittää niiden ominaisuudet sekä laatia omia kaavoja ja laskentamalleja. Monet ovat käyttäneet kuorielementtejä vuosia pohtimatta syvemmin niiden sisäistä toimintaa. Sen ymmärtäminen kuitenkin kannattaa.
Esimerkki 1: Rakenne, jonka x-suunnan taivutusjäykkyys on suuri, y-suunnan taivutusjäykkyys ja vääntöjäykkyys pieniä sekä x- ja y-suuntien taivutuksen välinen kytkentä kohtalainen tai pieni. Liitinten liukuman huomioiva mallintaminen tilavuuselementeillä on vaikeaa, mutta oikealla esitetty vastaava kuorimalli on erittäin helppo muodostaa.
Esimerkki 2: Vasemmalla monimutkainen rakennejärjestelmä. Oikealla sitä vastaava yksinkertaistettu kuorimalli, jonka x-suunnan taivutusjäykkyys on suuri, vääntöjäykkyys kohtalainen ja y-suunnan leikkausjäykkyys pieni.
Kuoren vääntö aiheuttaa paljon sekaannusta
Aloitetaan kuoren vääntöjäykkyydestä, vaikka se saattaa olla eniten sekaannusta aiheuttava ominaisuus. Vääntöjäykkyyttä voidaan yleensä käsitellä erikseen ilman kytkentöjä, joihin palataan myöhemmin. Yleinen harhakäsitys on, että kuoren taivutuskäyttäytyminen voidaan selittää kahdella taivutusjäykkyydellä: x- ja y-suunnan taivutuksella. Vaikka tämä malli pätee joissakin tapauksissa, se ei selitä useimpien todellisten levymäisten rakenteiden toimintaa. Paras keksimäni käytännön vertaus tälle pelkkään taivutukseen perustuvalle mallille on putkista koostuva pino, jossa on kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa kerrosta. Vaikka pinolla on taivutusjäykkyyttä x- ja y-suunnissa, yksi jäykkyys on nolla: vääntöjäykkyys eli jäykkyys yhden kulman nostamista vastaan alkuperäisestä tasosta. Tällainen muodonmuutos ei edellytä putkien taipumista. Vääntöjäykkyys antaa vastuksen tälle muodonmuutosmuodolle ainakin niissä rakenteissa, joissa sen arvo on suuri.
Periaate: Pelkkä kahden suunnan taivutusjäykkyys tekee järjestelmästä epästabiilin vääntökuormituksessa. Tällaisia järjestelmiä esiintyy idealisoituina malleina. Vertauksena on kahden putkikerroksen pino, jonka kerrokset on kytketty toisiinsa pystysuunnassa.
Myös vääntömomentti, elementtilaskennan tuloksissa yleensä Mxy, aiheuttaa sekaannusta. Olen kuullut monta kertaa, että kuoren vääntö on vain taivutusta, joka tapahtuu 45 asteen kulmassa kuoren pääakseleihin nähden. Toinen yleinen selitys on kuoren satulamainen muodonmuutos. Vaikka nämä selitykset ovat yksinkertaisia ja tyylikkäitä, molemmat ovat virheellisiä tai ainakin vain osa totuutta. Tarkastellaan ensin päätaivutusmomentteja M1 ja M2 eli suurimman ja pienimmän taivutusmomentin suuntia, jotka ovat kuoren väännössä, kuten aina 90 asteen kulmassa toisiinsa nähden. Katso alla oleva kuva. Vääntötilanteessa päätaivutusmomenttien suunnat ovat likimain 45 asteen kulmassa pääakseleihin nähden, joten ensimmäisessä selityksessä on jonkin verran perää. Tarkastele myös vääntömomentin määritelmää.
Kuva: Vääntökuormitetun kuorimallin päätaivutusmomentit ja vääntömomentin Mxy määritelmä.
Saat vielä paremman käsityksen määrittämällä kuorelle hyvin pienen vääntöjäykkyyden ja tutkimalla sen vastetta eri kuormituksissa. Alla oleva kuva havainnollistaa tätä. Jos aiheutamme satulamaisen muodonmuutoksen, kuten alhaalla vasemmalla, huomaamme, ettei satulamuoto yksin selitä kuoren vääntöä. Jos taivutamme kuorta 45 asteen suunnassa, kuten ylhäällä oikealla, järjestelmällä on edelleen jäykkyyttä. Myös putkipinolla on jäykkyyttä kummassakin tapauksessa. Järjestelmä menettää jäykkyytensä vasta, kun 45 asteen suuntainen taivutus ja satulamuoto esiintyvät yhdessä. Kuoren vääntöjäykkyys KGxy on siis järjestelmän jäykkyys päätaivutusmomenttien eroa vastaan silloin, kun taivutussuunnat eivät ole kuoren akselien suuntaisia. Myös alla oleva Mxy:n kaava selittää tämän. Vääntömomenttia Mxy syntyy vain, jos M1 ja M2 eroavat toisistaan, ja sen itseisarvo on suurimmillaan taivutuksen tapahtuessa 45 asteen suunnassa. Arkisesti voisi sanoa, että vääntöjäykkyys on liima, joka estää putkipinoa kiertymästä. Jos ymmärrät tämän kaiken, ymmärrät luultavasti kuoren vääntöä keskimääräistä insinööriä paremmin.
Kuva: Pienennetyn vääntöjäykkyyden omaavan kuoren vaste eri kuormituksissa. Värikartta esittää kuoren momenttia Mxy. Vain yhdessä kuormitustapauksessa esiintyy voimasuure Mxy ja sitä vastaava vääntömuodonmuutos. Vääntömomenttia Mxy syntyy vain, kun taivutuksen suunta poikkeaa pääakseleista ja päämomentit ovat erisuuria. Puhtaassa väännössä M1 = −M2.
Vääntömuodonmuutos
Taivutus- ja puristusmuodonmuutosten laskentatapa on selvä, ja luultavasti kaikki ovat laskeneet palkkien taivutusta ja käyttäneet momenttitaulukoita niin paljon, etten käsittele niitä tässä. Kuoren väännölle on kuitenkin määritettävä jäykkyyden KGxy, voimasuureen Mxy ja muodonmuutoksen väliset yhteydet aivan kuten taivutuksellekin. Tämä yhteys määrittää vääntökaarevuuden. Kuoren paksuussuunnan todellista siirtymää tarkasteltaessa on huomioitava, että vääntömuodonmuutos muuttuu sekä kuoren x- että y-suunnassa. Tämä siirtymä on helpompi poimia elementtimallista. KGxy:n, Mxy:n ja tasosta poikkeavan siirtymän z välinen yhteys on hyödyllinen silloin, kun rakenteen muodonmuutos vääntökuormituksessa tunnetaan kokeesta tai yksityiskohtaisesta 3D-mallista. Vääntö Mxy lasketaan tällöin päämomenteista.
Kuva: Kuoren tason normaalin suuntaisen siirtymän laskeminen vääntöjäykkyyden KGxy ja vääntömomentin Mxy avulla.
Mistä kuoren vääntöjäykkyys syntyy
Kun kolmiulotteista kappaletta väännetään, päätaivutusmomentit vaikuttavat 45 asteen suunnissa. Alla olevasta kuvasta nähdään, että molemmille pinnoille syntyy kaksiakselinen puristus-vetojännitystila. Kyseessä on puhdas leikkausjännitystila, jossa N1 ja N2 ovat vastakkaismerkkiset. Vääntöjäykkyys syntyy siis levyn kerrosten leikkausjäykkyydestä. Keskikerros on jännityksetön kuten taivutuksessa. Jatkuvassa aineessa, jossa ei ole selvästi erottuvia kerroksia, jäykkyys syntyy leikkausjännityksen jatkuvasta muuttumisesta paksuussuunnassa. Tämä määritelmä ei ole yleispätevä, vaan se koskee vain tilanteita, joissa kerrosten välillä on leikkauskytkentä. Käytännön rakenteissa tällaista kytkentää ei usein ole tai se on vain osittainen. Ilman kytkentää, esimerkiksi paperipinossa, vääntöjäykkyys on lähes nolla. On myös selvää, että kytketyn järjestelmän jäykkyys riippuu siitä, kuinka kaukana toisistaan paksuussuunnassa leikkauskytketyt, tason suuntaista leikkausta kantavat kerrokset sijaitsevat.
Kuorimallin paksuus on kuitenkin nolla, joten kuoren ylä- ja alapinnan kerroksissa ei mallin sisällä tapahdu todellista leikkausmuodonmuutosta. Kerrosten leikkausjännitysten muodostuminen on sisällytetty lukuun KGxy. Kuoren jännitykset voidaan laskea elementtianalyysin jälkikäsittelyssä Mxy:n ja kuoren keskipinnasta mitatun etäisyyden avulla. Huomaa, että tämä jälkikäsittely toimii yleensä vain jatkuvan aineen malleille eli umpinaisille levyille. Muissa tapauksissa voit laskea pintakerroksen leikkausjännityksen voimasuureesta Mxy ja yhdistää sen taivutus- ja normaalijännityksiin.
Kuoren vääntöjäykkyys riippuu seuraavista tekijöistä:
- kerrosten leikkausjäykkyys;
- kerrosten välinen etäisyys;
- kerrosten tai pintalevyjen välinen leikkauskytkentä paksuussuunnassa.
Kuva: Vääntökuormitetun järjestelmän kerrosten leikkausjännitykset. Ylä- ja alapinnan pintakerroksiin syntyy puristus-vetotila 45 asteen suunnissa. Kyseessä on leikkausjännitystila, jonka pääjännitykset ovat vastakkaismerkkiset.
Vääntöjäykkyyden laskeminen
Paras lähtökohta kuoren vääntöjäykkyyden laskemiseen on jättää vakiokaavat hetkeksi sivuun ja pohtia, miten oma rakenne toimii. Vakiokaavat pätevät vain umpinaiselle levylle. Asiaa on helpointa lähestyä esimerkkien avulla. Ensimmäinen alla oleva tapaus on umpinainen levy, kuten halkeilematon betonilaatta. Samat kaavat pätevät tietenkin myös isotrooppisiin teräslevyihin. Alla olevat kaavat toimivat järjestelmissä, joiden kerrosten välillä ei ole leikkauskytkentää. Yksittäisen kerroksen vääntöjäykkyys eli niin sanottu omajäykkyys on silloin ainoa vääntöjäykkyyden osatekijä. Se riippuu vain tasojännitystilan leikkausmoduulista G ja paksuudesta. Kaikkien kerrosten jäykkyydet summataan, koska leikkauskytkentää ei ole. Kerrokset on kytketty toisiinsa pystysuunnassa, joten niille syntyy luonnostaan sama kuoren vääntökaarevuus.
Kuva: Umpinaisen kuoren vääntöjäykkyyden laskentaesimerkki. Kun kerrosten välillä ei ole leikkauskytkentää, vääntöjäykkyys KGxy on yksinkertaisesti kerrosten jäykkyyksien summa. Kuvassa esitetään myös saman järjestelmän mallintaminen FEM-Designissa kahdella betonilaatalla eli kuorella, jotka yhdistetään pintaliitoksella. Pintaliitoksen x- ja y-suunnan jäykkyydet ovat nolla, joten liitos sallii liukumisen. Kerrosten välinen liukuma merkitsee, että vääntöjäykkyys on vain kerrosten jäykkyyksien summa.
Oma suosikkikaavani, joka on palvellut minua hyvin 20 vuotta, on esitetty alla olevassa kuvassa. Se kuvaa kahdesta täysin leikkauskytketystä kerroksesta koostuvaa järjestelmää. Malli on erittäin kätevä, sillä melkein mitä tahansa voidaan kuvata kahden pintakerroksen järjestelmänä. Monet käytännön rakenteet ovatkin juuri tällaisia, esimerkiksi puurankarunko tai betonilaatta. Betonilaatassa toinen pintakerros on pinnan raudoitusverkko ja toinen puristettu betoni. Alla esittämäni kaava on yksinkertaistettu. Se on hyvin tarkka ohuista pintalevyistä koostuville järjestelmille. Kahden pintakerroksen järjestelmän vääntöjäykkyys muodostuu kahdesta osasta: levyn omasta jäykkyydestä ja pintakerrosten välisen etäisyyden synnyttämästä liittovaikutuksesta. Ensimmäinen osa on vahvasti leikkauskytketyissä järjestelmissä yleensä hyvin pieni, joten olen jättänyt sen pois kaavasta. Kaava toimii myös esimerkiksi vaahtoytimisille lasikuitukomposiiteille. Huomaa, että kaava edellyttää täydellistä leikkausvoiman siirtymistä kerrosten välillä.
Kuva: Kahden pintakerroksen vääntöjäykkyyden laskenta yksinkertaistetulla kaavalla. FEM-Designissa sama järjestelmä voidaan mallintaa kahdella puulevyllä eli kuorella, jotka yhdistetään x- ja y-suunnissa hyvin jäykällä pintaliitoksella. Kuten kuvasta nähdään, kerrosten välinen liukuma estyy. Kahden pintaliitoksella yhdistetyn kuoren malli vastaa hyvin yksinkertaistettua yhden kuoren mallia, jonka vääntöjäykkyys on laskettu käsin.
Onko kuoren vääntöjäykkyydellä merkitystä
Monimutkaisiin rakennemekaniikan aiheisiin reagoidaan lähes aina yrittämällä tulla toimeen ilman niitä. Valitettavasti vääntöjäykkyys on todellinen osa rakenteiden mekaniikkaa, ja kaikilla levymäisillä rakenteilla on sitä jonkin verran. Kun ymmärrät, mitä vääntö todella on, sen huomioiminen päivittäisessä suunnittelutyössä helpottuu. Esimerkiksi Wood–Armerin yhtälöä käytetään laattojen taivutusraudoituksen mitoituksessa. Kun ymmärrät, että vääntö synnyttää pinnalle vetoa taivutuksen tavoin, ilmiöiden yhteys ja tarve huomioida se mitoituksessa selkiytyvät. Alla oleva kuva havainnollistaa tätä. FEM-Design käyttää kuitenkin tarvittavan raudoituksen laskennassa kaikkia voimasuureita, ei pelkästään My:tä ja Mxy:tä kuten alla olevassa yhtälössä. Erityisesti käyttörajatilatarkasteluissa (SLS) vääntövastetta voidaan hyödyntää, jolloin mallin on oltava oikea. Alempana oleva esimerkkikuva esittää erilaisten puuvälipohjien värähtelyvastetta.
Kuva: Wood–Armerin menetelmä laatan raudoituksen mitoituksessa. Väännön vaikutus tarvittavaan raudoitukseen. Molemmat voimasuureet tarvitaan teräsbetonin mitoituksessa.
Kuva: Teräsbetonilaatta ja vääntö. Näiden järjestelmien mitoituksessa vääntö voidaan joskus jättää huomiotta, mutta tähän ei ole yleispätevää sääntöä. Joissakin järjestelmissä vääntö on tärkein kuormankantomekanismi. Huomioi väännön aiheuttaman jännitystilan kaksiakselisuus, kun tarkistat betonin puristuskestävyyttä laatan mitoituksessa.
Kuva: Puuvälipohjan värähtely. Kuorten vääntöjäykkyyden vaikutus ominaistaajuuteen. Vasemmalla on kahden pintakerroksen järjestelmä, jonka vääntöjäykkyys on suuri. Oikealla järjestelmässä on vain yksi pintakerros, joten jäljelle jää vain sen omajäykkyys. Vääntöjäykkyys on lähes nolla, ja laatta toimii x- ja y-suuntaisena palkkiverkkona. Molemmissa malleissa taivutusjäykkyyksinä käytetään palkkien jäykkyyksiä.
Kuorten tason suuntainen leikkausjäykkyys
Leikkausjäykkyys voi olla kuoren tärkein jäykkyyskomponentti tai vähiten tärkeä. Kaikki riippuu mallinnettavasta rakennejärjestelmästä. Matalissa, 1–3-kerroksisissa rakennuksissa seinien leikkausjäykkyydellä on suuri merkitys voimasuureiden jakautumiseen. Kapeissa ja korkeissa rakennuksissa sekä kuilu- ja ydinseinäjärjestelmissä sen merkitys on pienempi. Leikkausjäykkyys ei tietenkään voi olla nolla: lähes mikään järjestelmä ei ole silloin stabiili. Joissakin rakenteissa, kuten levytetyissä rankaseinissä ja levytetyissä puuvälipohjissa, leikkausjäykkyys määrää lähes aina suurimman osan muodonmuutoksesta. Niissä määritetyllä arvolla on ratkaiseva merkitys. Kun pitkä palkki mallinnetaan kuorielementeillä ilman vääntöä ja poikkileikkauksen levy-osat ovat paksuja ja lyhyitä, kuoren leikkausjäykkyyden on oltava suuri, eikä leikkausmuodonmuutos ole muodonmuutosten pääasiallinen lähde. Kuoren veto- ja puristustermien merkitys korostuu vain, kun kuorilla mallinnettu palkki on lyhyt. Kun palkin levy-osat ovat leveitä ja ohuita, tason suuntainen leikkausjäykkyys vaikuttaa merkittävästi rakenteen jäykkyyteen palkin leikkausmuodonmuutoksen ja shear lag -ilmiön kautta.
Leikkausjäykkyys liittyy läheisesti kuoren vääntöön: vääntö on vastakkaisten pintakerrosten vastakkaissuuntaista leikkautumista. Tason suuntainen leikkaus puolestaan on molempien pintakerrosten samansuuntaista leikkautumista. Alla oleva kuva havainnollistaa, miksi leikkausjäykkyys ei voi olla nolla. Kuvat selittävät myös elementtisolmujen siirtymien, leikkausjäykkyyden DGxy ja kuoren leikkausvoiman välisen yhteyden.
Leikkausvoiman Nxy määritelmää voi ymmärtää samalla putkipinovertauksella, jota käytettiin edellä kuoren väännön yhteydessä. Leikkaus Nxy ei ole sama asia kuin kaksi erimerkkistä pääjännitystä eikä pelkkää puristusta 45 asteen kulmassa. Alla olevalla putkipinolla on jäykkyyttä, kun sitä puristetaan tai vedetään pystysuunnassa. Sillä on jäykkyyttä myös silloin, kun kaikkia kulmia vedetään 45 asteen suunnissa poispäin keskipisteestä. Kuoren leikkausjäykkyys vastustaa päänormaalivoimien eroa, kun niiden suunnat ovat 45 asteen kulmassa pääasiallisiin kuitusuuntiin nähden. Leikkausvoiman Nxy määritelmä on myös samankaltainen kuin Mxy:n määritelmä.
Leikkausjäykkyyden DGxy laskeminen voi olla hyvin yksinkertaista isotrooppisille umpinaisille kappaleille: se on G kertaa paksuus. Yhdestä tai useammasta pintakerroksesta koostuvissa rakenteissa määrääviä tekijöitä ovat levyjen leikkausmoduuli G ja liitinten liukumoduuli. Jos liitinjärjestely on hyvin monimutkainen, kuten tulppahitseillä tai kipsi- ja OSB-levyjen liittimillä toteutetuissa rakenteissa, laskenta on hieman monimutkaisempaa.
Kuva: Leikkauksen idealisoitu malli. Leikkaus liittyy N1:n ja N2:n eroon silloin, kun N1:n suunta poikkeaa kuoren pääakseleista. Tällä putkipinolla on jäykkyyttä N1:n ja N2:n eroa vastaan vain silloin, kun niiden suunnat ovat pääakselien suuntaiset. Muissa tapauksissa tarvitaan tason suuntaista leikkausjäykkyyttä DGxy.
Kuva: Kuoren idealisoitu D-matriisi. Suuri puristusjäykkyys ja rajallinen leikkausjäykkyys. DGxy-arvon, muodonmuutoksen ja kuoren leikkausvoiman Nxy välinen yhteys. Tätä yhteyttä tarvitaan, jos muodonmuutos tunnetaan kokeista tai yksityiskohtaisesta mallista.
Kalvojäykkyysmatriisi ja kytkentäkertoimet
Kuoren kalvojäykkyysmatriisi kuvaa sen tason suuntaista jäykkyyttä: kahta puristusjäykkyyttä ja yhtä leikkausjäykkyyttä. Kuoren puristus- tai vetojäykkyyden selittäminen jää puutteelliseksi, ellei samalla käsitellä kytkentöjä. Vääntöjäykkyys ja leikkausjäykkyys ovat ainoat jäykkyyskomponentit, jotka tavallisesti mallinnetaan kuorissa erillisinä komponentteina. Yleinen harhakäsitys on, että kuoren puristusjäykkyys olisi vain E kertaa paksuus. Tämä antaa kuorelle liian pienen jäykkyyden. Ongelma liittyy E-arvoon, joka mitataan todellisesta kolmiulotteisesta kappaleesta. Kappale ei ole yksiakselinen jousi, vaikka näin usein ajatellaan. Poissonin luku aiheuttaa kytkennän x- ja y-suunnan puristusten välille. Tätä käyttäytymistä kuvataan D-matriisin kytkentäkertoimilla. Todellisia kaksiulotteisia kappaleita voidaan siis kuvata kytkettyjen yksiakselisten jousien järjestelmänä. Alla oleva kuva havainnollistaa muuntokerrointa, jolla moniakselisen kappaleen E-arvo muunnetaan yksiakselisten jousien järjestelmää varten. Älä siis syötä suoraan arvoa E × t, vaan muista jakaa se tällä korjauskertoimella.
Kuva: Isotrooppisen D-matriisin määritelmä kimmomoduulin E ja Poissonin luvun ν avulla sekä matriisin komponentit.
Kun monimutkainen ortotrooppinen järjestelmä, jonka puristusjäykkyys on erilainen x- ja y-suunnissa, kuvataan D-matriisilla, asia muuttuu hieman kiinnostavammaksi. Matriisin kytkentäkerrointa ei voida enää laskea Poissonin luvulla. Sen tilalle tarvitaan uusi kerroin rho, ρ. Tämä kerroin voidaan määrittää kokeellisesti tai yksityiskohtaisella 3D-mallilla. Kytkentätermi kuvaa x- ja y-suuntaisten jousien välistä jäykkyyskytkentää. Se on siksi molempien jäykkyyksien ja uuden ρ-kertoimen funktio. D-matriisi muodostetaan alla olevan kuvan kaavoilla.
Kuva: Ortotrooppisen D-matriisin määritelmä x- ja y-suunnan puristusjäykkyyksien eli yksiakselisten jäykkyyksien sekä kytkentäkertoimen avulla.
Vähäinen kytkentä puristuksessa
Joissakin todellisissa rakennejärjestelmissä kytkentä on vähäinen tai sitä ei ole lainkaan. Myös silloin, kun toissijainen jäykkyys on hyvin pieni, kytkennän vaikutus koko järjestelmän kokonaisvasteeseen jää vähäiseksi. Muista, että kytkentä riippuu molempien jäykkyyksien tulosta edellä esitetyn yhtälön mukaisesti. Täydellistä kuorielementtimallia ei ole, mutta käytettävissä olevien tietojen perusteella voidaan tehdä perusteltu laskentamalli. Puurankarunko on tästä hyvä esimerkki. Pystysuuntainen puristus aiheuttaa vain vähän vaakasuuntaista laajenemista OSB- tai kipsilevytyksessä. Kun kytkentä asetetaan nollaksi, yksiakselinen jäykkyys E × A voidaan syöttää suoraan jäykkyysmatriisiin. Kun ρ on nolla, matriisi yksinkertaistuu huomattavasti. Jos suunnittelija haluaa levyverhouksen kantavan kaiken vaakakuorman, vääntöjäykkyys kannattaa asettaa nollaksi. Muistatko, että kuorilla on myös vääntöjäykkyyttä? Osa vaakakuormasta tekee työtä kuoren vääntöä vastaan, ja jos tätä ei oteta huomioon mitoituksessa, seurauksena voi olla ongelmia.
Kuva: Idealisoitu D-matriisi ilman kytkentää. Ilman kytkentää E × A voidaan syöttää suoraan matriisiin. FEM-Design sallii hyvin pienet jäykkyysarvot, joten idealisoituja malleja voidaan käyttää.
Taivutusjäykkyysmatriisi ja kytkentä
Kaikki edellä D-matriisista sanottu pätee myös taivutusjäykkyysmatriisiin. Kytkentää esiintyy myös taivutuksessa. Alla oleva kuva havainnollistaa tätä umpinaiselle isotrooppiselle materiaalille. Tässä taivutusesimerkissä yläpinta on puristettu ja alapinta vedetty. Materiaalin Poissonin luku aiheuttaa alapinnassa poikittaista supistumista ja yläpinnassa poikittaista laajenemista. Tämä tarkoittaa, ettei täysin yksiakselista taivutusta todellisuudessa ole: ei palkeissa eikä varsinkaan laatoissa. Palkeissa virhe on niin pieni, että se voidaan jättää huomiotta. Kuorimallien on kuvattava tämä jotenkin, sillä niillä ei ole erillisiä ala- tai yläpinnan jännityksiä. Kuvaus tehdään K-matriisin eli taivutusjäykkyysmatriisin kytkentätermeillä. Myöskään yksiakselista jäykkyyttä eli palkin taivutusjäykkyyttä ei voi syöttää suoraan K-matriisiin, koska K-matriisi kuvaa kytkettyjen yksiakselisten jousien järjestelmää.
Kuva: Todellisen kolmiulotteisen kappaleen yksiakselinen taivutus aiheuttaa aina kaksiakselisen vasteen. Kytkentätermit sisältävä K-matriisi on tapa kuvata tämä kuorielementillä. Kuvassa esitetään isotrooppisen umpinaisen kappaleen matriisi ja vaste.
Kuva: Todellisen järjestelmän vasteen jäljentäminen kuorimallin K-matriisilla vasemmalla ja idealisoidun laskentamallin muodostaminen oikealla. Huomaa myös x- ja y-suunnan jäykkyyksien muuttuminen, kun kytkentä poistetaan.
Kuva: Ortotrooppisen kuoren K-matriisin yleinen määritelmä. Ainoa tuntematon on ρ-kerroin, joka voidaan määrittää yksityiskohtaisen mallin avulla.
Kuva: Todellisen järjestelmän vaste yksityiskohtaisessa mallissa ja kuorilla muodostettu lattian idealisoitu laskentamalli. Kun kytkentä on pieni, K-matriisi yksinkertaistuu. FEM-Design sallii hyvin pienet jäykkyysarvot, joten idealisoituja malleja voidaan käyttää.
Kytkennän rajat
Kuten ehkä tiedät, Poissonin luvulla on rajat ainakin niillä materiaaleilla, joita suunnittelussa käytämme. Poissonin luku nolla tarkoittaa materiaalia ilman poikittaista kytkentää eli sitä, että puristuma voi kokonaan ilmetä tilavuuden muutoksena. Avosoluiset materiaalit ja esimerkiksi styroksi ovat lähellä tällaista käyttäytymistä. Jos lasket asian auki, yli 0,5:n Poissonin luku tarkoittaisi tilavuuden kasvua puristuksessa, mikä ei ole mielekästä. Tavallinen vaihteluväli on 0,1–0,35. Myös kytkentätermillä on rajat. FEM-Design tarkistaa kytkennän uutta kuorta luotaessa, jotta toimimattomia elementtejä ei voi muodostaa. Erityisesti hyvin erisuuruisten taivutusjäykkyyksien tapauksessa pääsuunnan taivutuksen liian voimakas kytkentä heikompaan suuntaan voi johtaa epärealistiseen käyttäytymiseen. Sama pätee D-matriisiin. Realistiset kytkentätermin arvot ovat välillä 0,1√(Kx Ky) ja 0,4√(Kx Ky). Idealisoiduissa järjestelmissä kytkentä on nolla.
Kuva: Esimerkki liian suuresta K-matriisin kytkentätermistä. Poikittainen jäykkyys on pieni pääsuunnan taivutusjäykkyyteen nähden. Oireena on reunojen käpristyminen. Oikealla: FEM-Design tarkistaa myös K- ja D-matriisien kytkentätermit. Tämä on vain täydentävä varmistus. Realistisen kytkennän käyttökelpoinen vaihteluväli on paljon kapeampi, ja se on esitetty edellä.
Muita kytkentäkertoimia
Matematiikkaan perehtyneet lukijat ovat varmasti huomanneet, että K- ja D-matriisit ovat enimmäkseen tyhjiä. Erityistapauksissa ne ovat diagonaalimatriiseja, jolloin nollasta poikkeavia lukuja on vain vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan kulkevalla lävistäjällä. Tämä tarkoittaa, ettei järjestelmän jousien välillä ole kytkentöjä. Yleensä vain taivutusten väliset ja puristusten väliset kytkennät ovat olennaisia todellisen järjestelmän vasteen kuvaamisessa. Matriiseilla voidaan kuitenkin muodostaa mitä tahansa kytkentöjä, kunhan ne ovat fysikaalisesti mielekkäitä todellisessa rakenteessa. Esimerkiksi vääntö voi aiheuttaa x-suunnan taivutusta. Yksi FEM-Designissa käytettävä lisäkytkentä on kuoren puristuksen ja taivutuksen välinen kytkentä CLT-elementtimalleissa. Kytkentä toimii molempiin suuntiin: puhdas puristus aiheuttaa kaarevuutta ja puhdas taivutus elementin lyhenemistä.
Kuva: Epäsymmetrinen CLT-levy FEM-Designissa. X-suunnan taivutus- ja puristusjousien välillä on lisäkytkentätermejä. Kytkentä toimii molempiin suuntiin: puristus aiheuttaa kaarevuutta ja taivutus elementin lyhenemistä. Huomaa puulevyissä käytetty matriisien erilainen nimeäminen. Taivutusjäykkyysmatriisin nimi on D. Sitä ei pidä sekoittaa tässä artikkelissa käsiteltyyn kalvojäykkyysmatriisiin D, jota käytetään Fictitious shell -työkalussa.
Ymmärränkö rakenteen toiminnan todella?
Kuoren määrittely muuttuu hyvin monimutkaiseksi, kun kytkentöjä lisätään. Samalla kasvavat virheiden riski ja riski siitä, ettei järjestelmän toimintaa ymmärretä. Taivutuksen ja normaalivoiman välinen kytkentä aiheuttaa usein ei-toivottuja kalvovoimia. Lattia taipuu alaspäin, mutta kuormaa kantaakin tason suuntainen leikkaus palkkien sijasta. Usein on turvallisempaa olettaa vähemmän jäykkyyskomponentteja. Jos vääntöjäykkyys on epävarma, pienennä sitä tai aseta se nollaksi. Näin voidaan tehdä, jos rakenteen sitkeys ja käyttörajatilavaatimusten täyttyminen voidaan perustella siten, että kuormat voivat jakautua järjestelmän muille jäykkyyskomponenteille. Jos pääasiallinen kuormitus on vääntöä, vääntöjäykkyyden asettaminen nollaksi ei ole perusteltua. Neljältä sivulta tuetussa puuvälipohjassa, jonka vääntöjäykkyys on epävarma, liitinten plastinen muodonmuutos voi kuitenkin sallia niin suuret vääntömuodonmuutokset, että järjestelmä muuttuu pelkästään kahteen suuntaan taivutettuna toimivaksi. Tällöin järjestelmää voidaan yksinkertaistaa poistamalla vääntöjäykkyys. Näiden mallien rakentamisen tarkoitus on tehdä suunnittelua, jonka keskeiset periaatteet ovat turvallisuus ja läpinäkyvyys. Yksinkertaista aina, kun se on mahdollista lisäämättä riskiä. Näin palaamme tämän blogin alkuperäiseen teemaan: ymmärrä järjestelmiä sen sijaan, että vain käyttäisit yhtälöitä.
Kuva: Kytkennät ja matriisien monet jäykkyystermit voivat johtaa monimutkaiseen järjestelmään. Pystysuunnassa kuormitettuun laattaan syntyy tason suuntaisia voimia, koska taivutus ja normaalivoimat ovat kytkeytyneet toisiinsa. Yksinkertainen taivutuskestävyyden tarkistus muuttuu tason suuntaisen leikkauksen ja leikkausliitinten tarkistukseksi, kun tason suuntainen leikkaus kantaa pystykuormia. Suunnittelijan on huomioitava myös kytkentäkertoimet sekä ymmärrettävä järjestelmän toiminta ja tason suuntainen leikkausjäykkyys kokonaisuudessaan. Ylärivin voimasuureet: x- ja y-suunnan taivutusmomentit sekä kuoren vääntömomentti Mxy. Keskirivi: Nx ja Ny. Alarivi: tason suuntainen leikkausvoima Nxy.
Kuva: Ulokeparvekelaatan laskenta. Kuoren K-matriisia ei voida yksinkertaistaa. Molemmat taivutustermit Kx ja Ky tarvitaan, ja todennäköisesti myös niiden välinen kytkentä. Lisäksi vääntöjäykkyys KGxy on olennainen järjestelmän vasteelle, jotta Wood–Armerin momentit saadaan oikein. Myös puristetun betonin kaksiakselinen mitoitus on tarpeen.
Kuva: Yhteen suuntaan kantava puuvälipohja. Hyvä esimerkki tilanteesta, jossa yksinkertaistaminen parantaa laskennan laatua. Levytyksen ja sen liitinten leikkausjäykkyyteen sekä välipohjan toissijaisen suunnan jäykkyyteen liittyy paljon epävarmuutta. Kun K-matriisin vääntö- ja kytkentäosuudet poistetaan, välipohjan pääsuunnan mitoitusmomentteihin liittyvä epävarmuus vähenee huomattavasti. Kansilevyn liitinten paikallinen myötääminen sallii vääntömuodonmuutokset.
Jäykkyyksien muuttaminen ja halkeilu
Tässä blogissa käsitellään kuorten lineaarista analyysia. Kuorten jäykkyyksiä muuttamalla voidaan arvioida teräsbetonin epälineaarista vastetta. Muutoksia voidaan käyttää myös ortotropian mallintamiseen. Jos taivutusjäykkyys on yhdessä suunnassa neljännes pääsuunnan jäykkyydestä, se voidaan toteuttaa isotrooppisen K-matriisin kyseisen jäykkyyden kertoimella 0,25. Jäykkyyksiä voidaan muuttaa myös paikallisesti. Jaa kuorimallista erillinen alue ja muuta sen jäykkyyttä mallintaaksesi paikallisen aukon, pienemmän paksuuden, sisäisiä onteloita tai muun halutun muutoksen. Jäykkyyskertoimilla voidaan myös saada laatta toimimaan voimakkaammin yhteen suuntaan. Olennaista on ymmärtää, miten jäykkyydet muuttuvat rakenteen fysikaalisen ominaisuuden muuttuessa. Taivutukseen liittyvät jäykkyydet ovat yleensä hyvin herkkiä rakenteen teholliselle korkeudelle: taivutusjäykkyys on verrannollinen tehollisen paksuuden kolmanteen potenssiin. Jotkin ominaisuudet, kuten vetojäykkyys, ovat suoraan verrannollisia poikkileikkauksen pinta-alaan. Sama koskee paksuussuunnan leikkausjäykkyyttä. Se on verrannollinen paksuuteen, mutta myös geometria vaikuttaa siihen. Pystysuuntaisten osien pinta-alan muutokset kuvaavat leikkausjäykkyyden muutosta paremmin kuin koko poikkileikkauksen pinta-alan muutokset. Paksuussuunnan leikkausjäykkyydellä on myös suurin merkitys laattojen keskikerroksissa.
Kuoren jäykkyyskomponentteja muutettaessa on muistettava, että K- ja D-matriiseja tulee käsitellä yhtenä kokonaisuutena eli rakenteen matemaattisena mallina. Yhtä matriisin termiä ei voi vain muuttaa ja olettaa mallin toimivan halutulla tavalla. Tämä korostuu silloin, kun mallissa on kytkentöjä, kuten yleensä on lineaarisesti käyttäytyvissä jatkuvissa materiaaleissa, esimerkiksi betonikuorissa. Myöskään Poissonin luvun muuttaminen ei vaikuta niin kuin usein ajatellaan. Poissonin luku määrittää x- ja y-suunnan välisen kytkennän sekä taivutusten välisen kytkennän. Olen kuullut monien haluavan asettaa Poissonin luvun nollaksi, koska he ovat kuulleet halkeilleen betonin Poissonin luvun olevan nolla. Tämä pitää paikkansa yksittäisessä pisteessä, kun yhtä nelikulmaista kuorielementtiä kuormittavat tason suuntaiset voimat. Taivutuksessa, kun toinen pinta halkeilee, akselien välinen kytkentä säilyy toisella pinnalla. Parempi tapa kuvata tätä on käyttää FEM-Designin materiaaliltaan epälineaarista mallia. Siinä Poissonin luku asetetaan nollaksi vain niissä elementeissä, joissa halkeilulujuus ylittyy. Malli määrittää Poissonin luvun myös usealle paksuussuuntaiselle kerrokselle, joten yhdellä elementillä on useita ν-arvoja.
Kun siis muutat jatkuvan materiaalin kuorimallin x-suunnan taivutustermiä, myös kytkentätermejä on muutettava. Muuten rikot materiaalin perusominaisuuksia, kuten Poissonin lukua tai kokoonpuristuvuutta vastaavia riippuvuuksia. Tarkastele edellä esitettyjä D- ja K-matriisien määritelmiä sekä alla olevaa kuvaa. Kytkentätermit riippuvat Poissonin luvusta ja jäykkyyksien suhteesta. Onneksi FEM-Design tekee tämän automaattisesti, kun käytät PLANE PLATE- ja PLANE WALL -toimintojen jäykkyyskertoimia: kytkentäkorjaus tehdään automaattisesti.
Kuva: Pintavalulla varustetun elementtilaatan likimääräinen malli. Täysi taivutusjäykkyys x-suunnassa ja pintalaatan jäykkyys y-suunnassa. Vääntöjäykkyys määräytyy pintalaatan mukaan. Y-suunnan leikkausjäykkyyttä on pienennetty. FEM-Design korjaa kytkentätermit automaattisesti. Jos käyttäjä haluaa muokata kytkentätermejä itse, kuori voidaan muuntaa fiktiiviseksi kuoreksi. Katso seuraava osio.
Halkeilun vaikutuksen arvioimiseksi toisen kertaluvun analyysissä EN 1992-1-1:2022 esittää alla olevassa kuvassa näkyvät yksinkertaistukset. Niitä voidaan soveltaa kaikkiin jäykkyyskomponentteihin, jos tarkkaa kuormitusta ei tunneta. Kertoimet ovat kuitenkin vain ohjeellisia. Vetokuormitettu seinä ei toimi seinänä vaan vetositeenä, ja halkeilun aiheuttama jäykkyyden menetys on paljon suurempi kuin näissä normisuosituksissa. Vääntökuormitettujen seinien halkeilulle voidaan käyttää likimain samoja kertoimia kuin laatan taivutukselle, sillä vääntö on taivutukseen liittyvä ilmiö. Jäykistysseinissä ja välipohjien levyjäykisteissä käyttäytyminen on lähempänä tason suuntaista leikkausta, jolloin seinille annetut suositukset ovat lähempänä tilannetta. Tällaiset ohjeet ovat kuitenkin hyvin epätarkkoja. Välipohjan levyjäykisteen leikkaus ei juuri koskaan jakaudu tasaisesti, ja suuren leikkauksen sekä vedon alueet ovat hyvin paikallisia. Kokonaisuutena tason suuntainen leikkausjäykkyys on todennäköisesti paljon lähempänä halkeilematonta tilaa.
Kuva: EN 1992-1-1:2022:n liitteen O ohjeita toisen kertaluvun vaikutusten huomioimiseen. Samankaltaisia likimääräisiä arvioita voidaan käyttää kuoren jäykkyyden korjaamiseen murtorajatilassa (ULS). Käyttörajatilassa (SLS) kannattaa harkita betonin vetojäykistysvaikutuksen huomioivia malleja tai epälineaarista laskentaa, kuten FEM-Designin plastista analyysiä tai halkeilleen poikkileikkauksen analyysiä.
Automaattisesti muodostettavat kuorimallit
Monet elementtimenetelmän käyttäjät pärjäävät aivan hyvin ymmärtämättä kaikkea tässä blogissa käsiteltyä. Tavallisesti laskentaohjelmisto määrittää D-, K- ja B-matriisit käyttäjän puolesta, ja näin tekee myös FEM-Design. Valitse FEM-Designissa PLATE tai TIMBER PLATE ja materiaalimalliksi esimerkiksi CROSS LAMINATE COMPOSITE, niin ohjelma huolehtii lopusta. Kytkentöjen ja matriisien oletusasetukset on valittu turvalliselle puolelle. Alla on esimerkki siitä, miten myös ortotropia huomioidaan automaattisesti kytkentätermeineen. Käyttäjä piirtää levyn ja valitsee puumateriaaliksi GLU LAMINATE. Tuloksena on automaattisesti ortotrooppinen kuori, jonka puunsyyt ovat kuoren x-suunnan suuntaisia.
Kuva: Esimerkki K- ja D-matriisien automaattisesta muodostamisesta sekä puurakenteiden voimakkaasta ortotropiasta.
Entä jos et ole tyytyväinen edellä esitettyyn malliin? Pitäisikö kytkentätermien mielestäsi olla erilaiset tai y-suunnan jäykkyyden 20 prosenttia pienempi? Entä jos haluat betonilaatan, jossa taivutusten välillä on kytkentä mutta tason suuntaisten voimien välillä ei kytkentää? Ehkä haluat vastata palkkien käsinlaskentaa ja siirtyä yksinkertaiseen Kirchhoff–Loven kuorimalliin kasvattamalla paksuussuunnan leikkausjäykkyyden hyvin suureksi. Hyvä uutinen on, että voit muuntaa kaiken FICTITIOUS SHELL -malliksi eli fiktiiviseksi kuoreksi. Tällöin D- ja K-matriisit ovat kokonaan hallinnassasi, ja voit muuttaa niiden arvoja haluamallasi tavalla. Jos fiktiivisen kuoren hahmottaminen on vaikeaa, tee ensin puulevy, teräsbetonilaatta, teräslevy, ontelolaatta tai muu vastaava rakenne ja muunna se sitten fiktiiviseksi kuoreksi. Näet silloin kuorielementtien jäykkyysmatriisien komponentit sellaisinaan ja voit muokata niitä haluamallasi tavalla.
Kuva: Automaattisesti muodostettujen kuorten muuntaminen FICTITIOUS SHELL -malleiksi lähtökohdaksi hyvin yksilölliselle kuorielementille. Huomaa, etteivät kaikki jäykkyysmatriisin ominaisuudet säily täysin. Esimerkiksi ontelolaatan toissijaisen suunnan jäykkyys vastaa yksittäisen ontelolaatan jäykkyyttä, ei koko ontelolaattavälipohjan jäykkyyttä.
Kuva: Palkkimallin automaattinen muuntaminen ortotrooppiseksi kuorimalliksi. Puunsyyt seuraavat palkkien akseleita. Liimapuurakenteen sivuttaisstabiiliuden tarkastelu yksityiskohtaisella mallilla.
Toivottavasti tämä selvensi monimutkaista aihetta. Emme usein huomaa, miten kaunis maailma kätkeytyy niiden matemaattisten työkalujen taakse, joita käytämme päivittäin sen kummemmin ajattelematta. Tässä käsitellyt asiat ovat vasta rakennuspalikoita: elementtiverkon kolmioiden ja nelikulmioiden ominaisuuksia. Seuraava askel on ryhtyä rakentamaan niiden avulla varsinaisia rakennejärjestelmiä. Ehkä niistä lisää myöhemmin, jos aihe kiinnostaa.
Kirjoittaja: Joni Hytönen
