Punainen piste FE-mallissa?

Huippuarvot syntyvät geometrisistä syistä ja lineaarisesta materiaalimallista.

Jos koskaan olet tehnyt FE-laskentaa olet varmasti törmännyt tähän ongelmaan: mallissa yhdessä FE alkiossa usein pienen epäjatkuvuusalueen lähellä jännitys nousee arvoon 600 MPa tai ohjelman antama tarvittava raudoitus on 2700 mm2 / m. Intuitio on, että tämä ohjelman antama arvo ei ole todellinen. Rakennesuunittelijana kapasiteetti usein määritetään poikkileikkaukselle. Tästä syystä on edullista käyttää sauvamalleja ja kuorimalleja tilavuusmallien sijaan. Kuorimallin teoria alkaa tuottamaan todellisuudesta poikkeavia tuloksia noin 2 x paksuuden etäisyydellä tuista tai pistemäisistä kuormista tai kuorien risteyksestä. Sauvamalli liittyy kuorimalliin aina yhteen FE alkioon: mitä pienempi FE jako, sitä pienemmälle alueelle liitos tulee. Ongelmia syntyy vain kuorimalleissa ja tilavuusmalleissa. Sauvamalleissa matemaattisista syistä ongelmaa ei synny. Tarvitaan vähintään 2 ulottuvuutta jotta ongelma syntyy. 3-ulottaisessa tilavuusmallissa ongelma on pahempi. Geometrinen syy huippuarvoihin on äärettömän terävä detaili mallissa. Toinen nimi asialle on singulariteetti: piste jonka sisäistä voimaa ei voida määrittää FE mallilla tai se on ääretön.  Todellisilla materiaaleilla on lujuus, jonka jälkeen suurin osa materiaaleista ei enää käyttäydy lineaarisesti. Usein huippuarvoissa materiaalin lujuus on ylitetty. Lineaarinen materiaalimalli saa kuoreet käyttäytymään liian jäykästi ja pieni liitosalue kerää enemmän voimaa, kun kuorella on kapasiteettia: betonilaatan taivutuskestävyys tai leikkauskestävyys, teräslevyn myötöraja tai leikkausmyötäminen.

Strategioita käsitellä huippuarvoja

Huippuarvojen käsittelyyn löytyy pääasiallisesti kahta strategiaa: jälkikäsittely tai FE laskentamallin korjaus. Yksinkertaisin jälkikäsittely on pitkään vieläkin käytössä oleva ns. engineering judgement. Eli suunnittelija itse katsoo, että minkä arvon ylittävä arvo ei edusta enää todellista suunnitteluvoimaa ja todellista kapasiteettitarvetta. FE ohjelmissa voi olla tarjolla myös työkaluja jälkikäsittelyyn joiden käyttöä käsitellään alempana. Jälkikäsittely on se tapa, jolla suurin osa  huippuarvoista voidaan hallita käytännössä.  Jälkikäsittelyyn kuitenkin liittyy aina periaatteellinen ongelma: jos paikallinen ongelma on kokonaismallissa, se vääristää mallin kokonaisvoimajakaumaa. Jos et jaksa lukea pidemmälle alla yksi prosessi käsitellä FE mallin huippuarvoja.

Verkotuksen herkyysanalyysi ratkaisuna?

Tihentämällä verkotuksen kokoa malli voi konvergoitua kohti oikeaa ratkaisua. Tämä tapahtuu vain jos mallin geometrinen ongelma on ensin korjattu mallissa. Äärettömän terävää detailia  käytettäessä malli tuottaa vain aina suuremman arvon. Konvergaatiota ei tapahdu.

Entä verkotuksen koon rajoittaminen tai nurkkapyöristys ratkaisuna?

Käytännössä nurkkapyöristysten lisäämisessä laskentamalliin ja verkotuksen koon rajoituksessa on kyseessä samasta asiasta. Jos verkotusta ei tehdä kovin pieneksi tai malliin lisätään nurkkapyöristys malli ei anna kovin suurta huippuarvoa. Ongelma  nurkkapyöristyksen kanssa on ne kohdat, joissa ei todellisessa rakenteessa ole määriteltyä nurkkapyöristystä (esim betoni): mikä on oikea koko nurkkapyöristykselle? Verkon koon rajoittaminen on hankalampaa, koska samaa tulosta on vaikea toistaa. Parempi ja toistettavampi menetelmä usein on jälkikäsittely.

Toisen kertaluvun verkotus ja huippuarvot – haitta vai hyöty?

Monet modernit FE-ohjelmat perustuu ns. toisen kertaluvun verkotukseen. Perinteisten FE elementtien väliin lisätään apuelementit, jotka paremmin kuvaavat voimien muutoksen muotoa kahden FE solmun välilllä. Harvemmalla verkotuksella saadaan tarkemmin esille huippuarvot ja voidaan ehkäistä shear locking ilmiötä. Toisen kertavuvun verkotus kuitenkin tuottaa pahemmat huippuarvot. Koska suurin osa huippuarvoista pitää joko käsitellä tai korjata malli on toisen kertaluvun verkotus etu: sen avulla näet huippuarvot helpommin. Harva verkkokin paljastaa singulariteetit.

Momentin huippuarvojen jälkikäsittely – keskiarvo ja funktiosovitukset.

Jos paikallisella detaililla ei ole merkittävää vaikutusta kokonaismallin voimajakaumaan on helpoin tapa usein ratkaista ongelma on jälkikäsittelytyökaluilla eli laskemalla useamman FE solmun arvo yhteen ja muodostamalla tuloksesta keskiarvo tai sovittamalla funktio dataan. Pistemäisen tuen todellinen toiminta perustuu todellisuudessa kuoren paksuussunnassa tapahtuvaan kartioon. Hyvänä käytännön nyrkkisääntönä on keskiarvoistaa vähintään noin tuen levyinen alue tai pistekuorman vaikutusalue ja mahdollisesti myös kartio laatan painopisteakseliin. Usein käytännössä tämä korjaa kohtuutarkkuudella epätäydellisen mallin virheen pistemäisestä tuesta tai pistekuormasta. Mikäli halutaan keskiarvoistaa isompi alue on sekin on mahdollista, mutta silloin on kyse enemmän käyttäjän tekemästä harkinnanvaraisesta plastisesta voimien uudelleenjakautumisesta laajemmalle alueelle, eikä pelkästä epätarkemman mallin korjauksesta. Tällöin on harkittava voiko plastiset muodonmuutokset tapahtua vai tuleeko murtovenymä vastaan.

Minne tasausalueita tulee sijoittaa?

Lähtökohtaisesti jokainen pistetuki, pilarin liitos, seinänurkka, pistekuorma on terävä olio ja vaatii tasausalueen. Lisäksi jokainen laatan tai levyn reuna vaatii tasausalueen leikkausvoimien tasaamiseksi. Tästä lisää alempana. Myös laatan tai teräslevyjen terävät nurkat ovat aina pisteitä missä malli ei konvergoidu oikeaan ratkaisuun verkotusta tihentämällä tai aukon nurkat.

Tasausalueiden tuottaminen automaattisesti?

Usein varsinkin teräsbetonilaatoilla ja esim CLT elementeillä kohtia missä huipppuarvoja voi esiintoä on paljon. Tällöin hyödyllistä on, että mahdollisimman paljon tasausalueita tuotetaan automaattisesti. Tasausalueita voi syöttää FEM-Design ohjelmassa PEAK SMOOTHING työkalulla. Automaatisten alueiden tuottamiseen löytyy ohjelman asetuksista työkalut: paljonko itse tuen leveyden lisäksi alueen kokoa kavatetaan. Usein se on laatan paksuuden funktio. Vaikka automatiikkaa käytetään on käyttäjän aina tarkastettava tulos ja tarvittaessa korjattava alueiden kokoa itse perustuen omaan harkintaan: alueen koko voi olla eri esimerkiksi vetopuolen rasituksissa osittain haurailla materiaaleilla kuten puulla. Lisäksi käyttäjän vastuulle jää tarkastaa miten alueet sijoittuvat FE verkkoon nähden. Tarvittaessa ohjelma osaa automaattisesti tihentää verkkoa keskiarvoistusalueilla.

Entä leikkausvoimat?

Leikkausvoimien huippuarvot voivat olla vielä isompi ongelma mitoituksen kannalta kun momentin huippuarvot. Tyypillisiä kohtia joissa äärettömiä leikkausvoiman arvoa voi esiintyä on reikien terävät nurkat ja betonilaattojen tai puulevyjen reunat. Jälkimmäinen varsinkin kohdissa missä laatan reunan läheisyydessä sijaitsee pilari, pistekuorma tai paalu.

Betoni: Globaali jatkumomalli – suunnittelu diskreettimallilla

Ristiin kantavien betonilaattojen kuvaamiseen voidaan käyttää hyvänä aproksimaationa kuorimallia. Kuorimalli on jatkumomalli. Betoni kuitenkin suunnitellaan normien mukaan diskreetillä mallilla, koska raudoitus on diskreetisti sijoiteltu laattaan. Toisin sanoen laatassa suunnittelu voidaan tehdä korkeintaan yhden raudan tarkkuudella vetokomponentille. Periaatteessa minimikoko keskiarvoistukselle on siis raudan jako, mutta käytännössä hieman suurempi alue toimii paremmin. Betonin puristuspaarre saa aina laatan reunassa isomman arvon mutta jännitysten tasaantuminen tapahtuu osittain betonin myötäessä puristuspuolella. Alueen koon kanssa kannattaa olla varovainen kun betonin puristuskestävyys on leikkauksen mitoittava tekijä.

Betoni: toissijaisia menetelmiä lisätä kapasiteettia aukon ja laatan reunoilla

Laatan reunassa on usein ylimääräistä kapasiteettia. Usein laatan reunan detaljit saattavat pitää sisällään ylimääräisiä pituussuuntaisia tankoja, joita ei huomioida FE malliin syötetyssä perusraudoituksessa. FEM-Design ohjelmasta löytyy SINGLE Bar käsky, jolla voidaan syöttää aukon reunoilla ja laatan reunoille lisätangot, jotka lisäävät laatan reunan leikkauskestävyyttä. Lisäksi reunan haat voidaan lisätä FE malliin, mutta niidenkin tuoma hyöty on pieni. FE mallin jälkikäsittelijät ovat kuitenkin käytännössä aina isompi ja ensisijainen apu reunan leikkausvoiman käsittelyssä.

Leikkausvoimien ja normaalivoimien jälkikäsittely: vero erimerkkisiä sisäisiä voimia!

Taivutusmomentin etumerkki levyissä harvemmin vaihtaa etumerkkiä paikallisen detailin lähellä. Normaalivoimissa ja varsinkin leikkausvoimissa etumerkki vaihtaa aina etumerkkiään tuella. Leikkausvoima tuen oikealla puolella on aina erimerkkinen verrattuna tuen vasemmalle puolelle. Varsinkin tavallisin FE ohjelmien tarjoaman jälkikäsittelymenetelmä: keskiarvoistus on nimenomaan sitä – keskiarvon laskemista. Kahden erimerkkisen voiman keskiarvo on lähellä nollaa. Funktiosovitukset Mitä FEM-Design tarjoaa tuottaa paremman tuloksen. Toinen tapa on keskiarvon laskeminen erikseen tuen eri puolilta. Lisäksi paras tapa betonin mitoitukseen on FEM-design tarjoama leikkausmitoitus, jossa tukivähennykset tehdään hallitusti tuki kerrallaan ja poistetaan mitoituksesta tuen lähellä esiintyvät huippuarvot mitoitusvaiheessa.

Kokonaismalli ja huippuarvot – onko laskentamallini virheellinen?

Pistemäiset oliot aina vaikuttavat kokonaismallin käytökseen. Usein huippuarvot ovat hyvin paikallinen ilmiö ja vaikutus kokonaisvoimajakumaan on pieni. Tietyissä tilanteissa on kuitekin syytä harkita joko korjata mallia tai suhtautua varauksella ohjelman antamiin suunnitteluvoimiin, sekä detailin lähellä, että myös muualla. Tällaisia tilanteita on lyhyet jänteet paksuissa laatoissa  ja esim seinämäiset palkit tai paksut anturat. Näissä tilanteissa mallin voimajakauma ja tukireaktiot riippuvat verkotuksen koosta. Jos joissain kohdassa on liikaa jäykkyyttä (kapasiteetti ylitetty) on se aina pois jonkun toisen kohdan voimista. Jos jossain kohdissa on liian vähän jäykkyyttä (terävä pistemäinen olio) vaikuttaa se aina kokonaisvoimajakaumaan. Käytännössä on aina hyvä arvioida miten ison virheen paikallinen huippuarvo aiheuttaa ja voidaanko sen vaikutus unohtaa kokonaismallissa vai onko syytä harkita mallinnustekniikoita.

Tuet osittaisena huippuarvojen lähteenä

Kun FE ohjelmissa määritetään tukia usein tavallisin valinta on ”rigid” tai jäykkä tuki. Ääreetön tukijäykkyys pahentaa äärettömän terävien kohtien huippuarvoja. Tyypillisesti pahimpia kohtia tukijäykkyyden kannalta on seinänurkat, seinien päädyt ja lähekkäin olevat paalut tai pistetuet. Harvemmin todellinen tuki on äärettömän jäykkä. Vaikka seinänurkka onkin äärettömän terävä osittainen tuen joustaminen on kohtuullinen keino ehkäistä pahimpia huippuarvoja. FEM-Design ohjelmassa lähtökohta tuissa on, että oletusjäykkyys on lähellä arvoa mitä tuet voisivat saada todellisuudessa. Käyttäjä voi tästä poiketa, mutta useimmissa käytännön rakenteissa pieni jousto on parempi ratkaisu. Jos olet epävarma arvosta mallinna tukevat rakenteet.

Kuormat: pistekuormien jälkikäsittely tai pintakuorma.

Pistekuorma on vastaava huippuarvon lähde kuten myös pistetuki. Usein helpointa tapa käsitellä pistekuormat on määrittää niiden kohdalle keskiarvoistusalue joko funktiosovitus tai keskiarvomenetelmä (riippuen kuorman luonteesta). Tämä onkin usein suositeltava tapa staatisten kuormien kanssa. Toinen tapa on korvata pistekuorma pintakuormana, joka annetaan kuormaresultanttina. Tämä ei koskaan tuota ääretöntä arvoa. Jälkimmäinen tapa sopii liikkuville liikennekuormille ja esim trukin pyöräkuormille tai vastaavilla, jonka vaikutuspaikkaa ei tunneta.

Terävien nurkkien pyöristys ja vastaavat mallinnusratkaisut: ratkaisu rakenneteräkselle

Jos huippuarvo on rakenneosassa, jonka oikea geometria voidaan mallintaa riittävällä tarkkuudella vastaamaan valmistettua osaa, kannattaa se mallintaa. Tämä tarkoittaa suuren mittakaavan geotriaa. Tällaisia kohtia on tietenkin teräslevyt. Lisäämällä nurkkapyöristys saadaan jännitykselle rajallinen huippuarvo. Jos jännitys on yli myötörajan tulee käyttää epälineaarista materiaalimallia. Muita vastaavia mallinnustekniikoita on pistemäisten yhden FE solmun liitosten korvaaminen pintaliitoksilla tai viivaliitoksilla.

Entä epämääräisemmät materiaalit kuten betoni tai puu?

Betonirakenteessa eikä puurakenteissa terävän nurkan tarkkaa geometriaa ei välttämättä tunneta samalla tarkkuudella kun teräsrakenteessa: säde on määrittämätön. Todellisissa rakenteissa on paljon vastaavia nurkkia (betonissa puristettuja sisänurkkia) ja puussa vedetyssä pinnassa neliömuotoisia aukkoja. Käytännössä tiedetään, että rakenne kestää, vaikka laskennallinen jännitys on ääretön. Todellisuudessa huiput eivät ole teräviä ja puu ja betoni ovat myös osittain sitkeitä kuten teräs. Vaikka suuressa mittakaavassa puurakenteet mitoitetaan lineaarisella mallilla, paikallisesti puu käytäytyy osittain sitkeästi. Paikallinen nurkka puurakenteessa ei ole terävä ja materiaalissa on pienni murtovenymä. Kyse on vain murtovenymän määrästä. Paikallinen ääretön jännitys tasaantuu isommalle alueelle. Murto tapahtuu vasta kun murtovenymä on käytetty hieman isommalta alueelta.

Hauraat materiaalit – Keraamit ja lasi.

Hauraissa materiaaleissa murtovenymä on olematon. Materiaali on hyvin lähellä lineaarista ideaalista mallia. Jälkikäsittelytyökaluja ei saa tietenkään tällöin käyttää. FE laskennassa on vain mallinnettava rakenne niin että se vastaa todellisuutta ja mallin jännitykset on saatava pysymään jopa tiheällä verkolla alle myötölujuuden. Ainoa tapa on mallinnustekniset ratkaisut: ei teräviä nurkia: vain pintatukia ja pintakuormia, vain jousitukia.

Murtovenymä ja paikallinen huippujännitys – FE malli ja suuren kaavan materiaalimalli ei toimi

Usein käytännössä joudutaan usein olettamaan, että huippujännitys tasaantuu isommalle alueelle kun materiaali myötää. Jopa tarkemmin määritetty osa kuten teräskappale, jonka voidaan olevan tarkasti määritetty kuitenkin paikallisesti sisältää pieniä virheitä, jossa jännitys käytännössä on aina yli myötölujuuden. Pitää kuitenkin muistaa, että myös materiaalikokeet pitävät sisällään näitä tyypillisiä virheitä. Materiaalikokeen tulos on siis suuremman mittakaavan venymä ja jännitystulos. Sama pätee betonille ja puulle. Vaikka betonin puristusjännitys terävässä nurkassa on laskennallisesti ääretön ei ”hauras” betoni murru. FE malli ei voi kuvata näitä mikroskooppisia ilmiötä. vain suuren mittakaavan materiaalimallia voidaan soveltaa FE laskentaan. Lisäksi betonille ja puulle tunnetaan vielä rajoitetusti herkkyys paikallisille venymä ja jännityskeskittymille – paljonko paikallista venymää sallitaan, kun vain globaali suuren mittakaavan materiaalimalli tunnetaan. Esim betonin materiaallimalli on keskiarvoistus sementtiä, huokosia, halkeamia ja kiviainesta ilman raudoitusta. Puun syyt ja vuosirenkaat tekevät aineesta jännityskeskittymien mittakaavassa hyvin vaihtelevan. CLT seinät käyttäytyvät alle lamellin leveyden mittavaavassa hyvin eritavalla kun suuren mittakaavan materiaalimalli olettaa (leikkauksen, kiertoleikkauksen ja vedon yhteisvaikutus ja reiän asema lamellijakoon). Puun ongelmana on myös se, että puun murtovenymä riippuu paljon rasituksen suunnasta syysuuntaan nähden – puu sietää huonosti paikallisia jännityskeskittymiä, kun veto on suoraan syihin nähden.  Keskiarvoistettavan alueen koko voi olla riippuvainen jännityksen suunnasta. Selkeät suunnitteluohjeet ja laajamittaiset käytännönkokeet puuttuvat ja insinööri on pitkälti omillaan, vaikka muutamia tieteellisiä tutkimuksia löytyy. CLT:ssä noin lamellitason tai hieman sen alle keskiarvoistus tuottaa kohtuullisen suunnitteluarvon.

Syklinen jännitys ja huppujännitys kun toistojen määrä on yli 10 000

Staattisessa ja kvasistaattisessa laskennassa mikään mikroskooppisen tason ilmiö ei kiinnosta. Kestävyys voidaan todentaa vertaamalla suuren mittakaavan jännitystä ja venymää sallittuihin arvoihin. Usein sitkeillä materiaaleilla kuten teräksellä venymä tasoittaa huippuarvot. Kun syklien määrä on suuri, väsymismurtumat on mitoittava tekijä vedetyssä betonissa (usein vain betoniankkurointi) ja vedetyssä teräksessä. FE laskennan kannalta tiedetään että mikroskooppisia ilmiötä ei voida mallintaa vaan ollaan koetulosten varassa. Malliin kuitenkin tulee kuvata oikein ne asiat, jotka voidaan laskea mallilla: korvata terävät nurkat pyöristyksillä tai välttää pistemäisiä tukia tai kuormia. Usein käytännössä mallilla lasketaankin vain ns. geometrinen jännityskeskittymä. Hitsit ovat väsymistarkastuksessa mahdoton mallintaa FE mallilla. Mallilla voidaan laskea hitsin läheisyyden jännitys ja hyödyntää koetuloksia, jotka huomioivat hitsin epätäydellisen epämääräisen geometrian kuten halkeamat ja jäännösjännitykset. EN 1993-1-14 / 7.3  ja liite B (2020 luonnos) esittää yleisen tavan miten hitsien läheisyydessä erotetaan geometrinen jännitys paikallisesta virheellisestä huippuarvota vertailua koetuloksiin (Stress Concentrations and Numerical Singularities).

Epälineaarinen materiaalimalli ratkaisuna – Vain jos geometrinen ongelma on ensin poistettu.

Useissa FE ohjelmissa on epälineaarisia malleja. Myös FEM-Design ohjelmaan on kehitetty erittäin monipuolinen epälineaarinen materiaalimalli, joka toimii betonilla (huomioiden todellisen raudoituksen) ja rakenneteräksellä 3D rakenteissa. Materiaalimallissa paikallisessa huippuarvossa materiaali myötää ja jännitys jakautuu isommalla alueelle, kunnes kantavuus ja tasapaino ulkoisten kuormien kanssa saavutetaan. Onko ongelma huippuarvoista sitten ratkaistu? Vaikka jännityshuiput tasaantuvat epälineaarisissa materiaalimalleissa on malleissa silti venymähuippu. Sen ratkaisemiseen on käytettävä tarkempaa mallinnusta tai sitten insinööriharkintaa.

Joku ongelma jota ei tässä käsitelty?

Tässä on pintapuoleisesti käyty läpi niitä asioita, jotka koskettavat tavallista rakenneinsinööriä. Jos sinulla on muuta kysyttävää tai kiinnostuit meidän tarjoamistamme ratkaisuista rakennesuunnitteluun, ota rohkeasti yhteyttä tai hae koelisenssi alta. Olemme palvelu – meidän kanssa et jää yksin.

Joni Hytönen

Jos olet kiinnostunut tutkimaan tarkemmin FEM Designia ja haluaisit ilmaisen kokeiluversion, paina “Hae ilmaista kokeiluversiota” nappia